Opera lui Gödel prin ochii unui logician clujean

Virgil Drăghici este conferenţiar universitar la  Facultatea de Filosofie a Universităţii Babeş Bolyai şi unul din cei mai buni logicieni din ţară la ora actuală. Traducerile sale şi studiile sale de logică matematică sunt recunoscute ca fiind de o deosebită importanţă pentru acest domeniu de cercetare. Preocuparea sa majoră în logică este legată însă de opera logicianului Kurt Gödel şi în mod special de teoremele

Legat de această temă, Virgil Drăghici a publicat recent o traducere din Wolfgang Stegmüller. Lucrarea se numeşte „Incompletitudine şi indecidabilitate - rezultatele meta-matematice ale lui Gödel, Church, Kleene, Rosser şi semnificaţia lor epistemologică" şi conţine un amplu studiu introductiv al profesorului clujean, studiu care contribuie la înţelegerea mai profundă a teoremelor lui Gödel.

Volumul este o investigaţie a unei mari descoperiri în domeniul logico-matematic cu implicaţii filosofice profunde. E vorba despre fenomenul gödelian al incompletitudinii. Informal exprimat, un sistem logic este incomplet dacă există o formulă a sistemului adevarată şi nedecidabilă  (adică nici formula şi nici negaţia ei nu sunt demonstrabile) în sistemul respectiv.

Acest fenomen a făcut carieră prin dezvoltări logico-mateamtice ulterioare cercetărilor gödeliene, prin operele logicienilor Church, Kleene şi Rosser.  „Filosofic ideea de incompletitudine figurează înainte de toate în două argumente remarcabile: argumentul Lucas- Penrose şi în teza «Meaning is use», cea din urmă expresie însemnând că semnificaţia unei expresii este dată de folosirea ei în limbă.

Incompletitudinea, intuitiv exprimată, denotă ideea imposibilităţii unei descrieri formale şi complete a realităţii, în primul rând a realităţii matematice. Prin teoremele lui Gödel rămâne de fiecare dată un «rest» semnificativ, o propoziţie adevărată dar nedemonstrabilă formal", spune logicianul Virgil Drăghici.

Potrivit argumentului Lucas -Penrose, gândirea matematică nu are caracter algoritmic, adică nu este reductibilă la aplicarea unor reguli, oricât de complexe ar fi ele.

Prin teoremele lui Gödel, semnificaţia unei expresii transcende ulitizarea expresiei în limbă şi deci adevărul transcende demonstrabilitatea, ceea ce înseamnă că există enunţuri adevărate  şi nedemonstrabile. Prin aceasta, teoremele lui Gödel, în primul rând celebra teoremă de incompletitudine, reprezintă după unii autori un contraargument la teza lui Wittgenstein, potrivit căreia semnificaţia unei expresii este determinată de utilizarea ei în limbă.

Construcţia propoziţiei gödeliene se bazează pe aplicarea procedeului diagonal cantorian, adică pe construcţia unor enunţuri autoreferenţiale (enunţuri care vorbesc despre ele însele). Aşa este spre exemplu  paradoxul mincinosului, exprimat în forma unei propoziţii care spune despre sine că este falsă: „Această propoziţie este falsă". Gödel înlocuieşte „fals" cu „nedemonstrabil", descoperind astfel fenomenul incompletitudinii, aşa încât exemplul gödelian devine „Această propoziţie este nedemonstrabilă". Prin aceasta, un paradox venerabil devine punct de plecare pentru o descoperire logico-matematică remarcabilă.

Pentru a dezvolta mai bine subiectul, Virgil Drăghici lucrează acum la traducerea lucrării lui Kurt Gödel: „Despre propoziţii formal indecidabile în «Principia Mathematica» şi sisteme similare", iar din exegetica operei gödeliene, volumul profesorului american R. Smullyan,  „Teoremele gödeliene de incompletitudine", este deja tradus, urmând să apară la o prestigioasă editură din Iaşi.