Aspecte privind rezolvarea unor probleme şi CONVENŢIILE DE SEMN din optica geometrică

În manualul de fizică pentru clasa a – IX – a colecţia liceu, editura PETRION, autori: Armand Popescu, Aurel Popescu, Iulian Ioniţă, Beatrice Alexandra Popescu si Maria Ionita, la pagina 39, intalnim problema  8  cu un enunt:

O lentila plan-convexa se metalizeaza pe fata plana. Distanta focala:

a)     Scade cu 50%; b) creste de 1,5 ori; c) scade de 2 ori; d) scade de 1,5 ori.

Daca problema ar avea date numerice, am determina mai intai pozitia imaginii in dioptrul convex, pe care lumina il intalneste primul. Aceasta imagine devine obiect luminous pentru oglinda plana. Determinam pozitia imaginii data de aceasta oglinda, imagine ce devine obiect luminos pentru acelasi dioptru, acum, pe parcurs de razele de lumina in sens contrar, datorita reflexiei pe oglinda. Ultima imagine a obiectului amintit reprezinta, de fapt, imaginea finala data de sistemul optic format din dioptrul convex, asociat cu oglinda plana, a carei pozitie o determinam in final.

O alta cale de rezolvare a problemei este aceea de a determina formula punctelor conjugate ale sistemului optic, obtinut prin asocierea dipotrului convex cu oglinda. In cazul nostrum, problema neavand date numerice, trebuie sa urmam aceasta din urma cale.

Consideram ca este util sa generalizam enuntul problemei, pentru o analiza finala mai ampla? Iata enuntul:

O lentila biconvexa se metalizeaza pe una din fete. Comparati distanta focala a lentilei date, cu distanta focala a sistemului, dioptru oglinda concave, obtinut dupa metalizarea uneia din fetele lentilei.

Pentru rezolvare, construim imaginea finala a unui punct luminous aflat pe axa optica principala sistemului.

FIG. 1

Imaginea lui P in dioptru se formeaza in P₁. Pentru simplificare, vom considera ca sistemul se gaseste in aer cu indicele de refractive 1; materialul transparent al lentilei avand indicele de refractive n.

Formula punctelor conjugate cu P si P₁ conform cu fig.1, este: 

P₁  devine obiect luminos pentru oglinda, iar imaginea acestuia se va forma in P₁^I

^FIG.2

Deducem, acum, formula punctelor conjugate P₁ si P₁^I, avand in vedere fig. 2. Se stie ca i = r si datorita faptului ca toate unghiurile sunt mici, conform aproximatiei lui Gauss, putem scrie: a) sin i = sin r. Cum, de pe fig 2, observam ca, i =  , din a) obtinem b) 

Conform aproximatiei lui Gauss, sinusurile unghiurilor le vom inlocui cu tangentele, iar cosinusurile cu 1: obtinem c) relatia:

 , in care inlocuim segmentele cu marimile algebrice corespunzatoare si vom avea in final:

P₁^I situat la –X₂^I de centrul optic al sistemului devine punct luminous pentru dioptru, pe care lumina il strabate din nou dar in sens contrar, iar P^I situat la –x₁^I  reprezinta imaginea finala a punctului  P, data de sistem, la distanta –X₁^I, de centrul optic 0 al acestuia.

FIG. 3

Tinand, in continuare, seama de aproximatia lui Gauss, din fig 3 relatia b) devine:

cu marimile algebrice formula c) este:

Din formulele (1.1), (2.2) si (3.3) se obtine formula punctelor conjugate P si P^I a sistemului lentila biconvexa – oglinda concava astfel:

Din (1.1) avem:

FIG.4

Se observa ca, in fig. 3, alegerea axei OX in orientarea de la stanga la dreapta este nepotrivita fiindca dioptrul este parcurs in sens invers, de la dreapta la stanga, de catre lumina.

De asemenea, in cazul oglinzilor, alegerea axei OX cu sens pozitiv dela varf spre dreapta, ca in manual, ne conduce la concluzia paradoxala de a avea convergenta negative pentru oglinzile convergente (concave) si convergenta negative pentru oglinzile divergente (convexe).

Aceste neconcordante au fost observate de autorul articolului de fata si a fost propusa Solutia pentru inlaturarea lor in articolul CONVENTIILE DE SEMN SI ALTE PROBLEME DIN OPTICA GEOMTRICA publicat in ‘’ BULETINUL DE FIZICA SI CHIMIE’’ ANUL XII – XIII VOL XII – XIII – 1988 – 1989 pag. 308, la rubric Erori si neclaritati in carti si reviste si in ‘’OPTICA GEOMETRICA’’  EDITURA GRIGORE TABACARU – BACAU 1997.

Aceasta solutie consta in modificarea conventiilor de semn din optica geometrica si anume:

Se considera originea sistemului de referinta in polul dipotrului, ( varful V al calotei sferice).

In cazul dioptrului transparent, sensul pozitiv al axei OX este de la origine spre dreapta, in sensul propagarii luminii care vine de la obiectul luminous, iar in cazul oglinzilor sensul pozitiv al axei OX va fi de la origine spre stanga tot in sensul propagarii luminii dupa reflexie in pol. In ce priveste axa OY nu exista modificari. Aceasta alegere a sensului lui OX are SENS FIZIC.

Interpretand formula 11) dupa aceste conventii , ea reprezinta formula punctelor conjugate fata de sistemul lentila convergenta – oglinda concava, care se comporta ca o oglinda concava cu convergenta egala cu de doua ori convergenta lentilei plus convergenta oglinzii.

Daca formulele 11) si 6) sunt corecte ele trebuie sa conduca la aceleasi rezultate pe care le obtinem aplicand prima metoda propusa pentru rezolvarea problemelor cu date numerice. In acest sens propunem spre rezolvare urmatoarea problema.

Se da o lentila biconvexa cu razele de curbura (R₁) = 0,5 m, (R₂) = 1 m, care are indicele de refractive 1,5. Lentila se gaseste in aer. In fata lentilei  la 1,2 m pe axa optica principala a acesteia  se gaseste un obiect luminous punctiform. Sa se gaseasca pozitia imaginii finale fata de system, daca fata din dreapta a lentilei se metalizeaza.

Rezolvare

Din formula 11), avand in vedere ca R2 > 0 si f > 0, se obtine x₁’ = 0,24 m

Formulele 6) si 11) fiind corecte ele se pot folosi la rezolvarea tuturor problemelor de optica geometric ace se refera la sisteme de lentil sau asociatii de lentil subtiri cu oglinzi.

Revenind la problema din manual al carei enunt l-am prezentat la inceput, ca se poate rezolva in doua moduri:

Fie urmand calea care ne-a condus la gasirea formulelor 6) si 11), sau cunoscand aceste formule, sa fie aplicate pentru problema noastra in care (R2) ->   .

Atat din formula 6) cat si din formula 11) rezulta ca, in modul, distanta focala este de doua ori mai mica decat a lentilei. Raspuns corect? Alegeti.

Nu comentez locul unei astfel de problem in manual, fara ca elevii sa fie avertizati asupra gradului de dificultate.

Problema a fost rezolvata de Prof. Grama Gavril, Str. Grigore Moisil nr.4, Bl. 6, Sc.2, Ap.48, Parter, Sector 2, Bucuresti.